Fisica Moderna

Este es un buen articulo que encontre, me sirvio mucho para entender la Teoria de Cuerpos Negros.

Radiación del Cuerpo Negro. Hipótesis de Planck

Antecedentes históricos

Es bien conocida la anécdota de que a finales del siglo XIX un destacado físico de la época William

Thomson (1824-1907) conocido como Lord Kelvin, se atrevió a decir que solo dos pequeñas

“nubecillas” arrojaban sombras sobre el majestuoso panorama de conocimiento que había

construido la física clásica desde Galileo y Newton hasta ese momento: el resultado del experimento

de Michelson-Morley, el cual había fallado en detectar la existencia del supuesto éter luminífero; y

la radiación del cuerpo negro, i.e la incapacidad de la teoría electromagnética clásica de predecir la

distribución de la energía radiante emitida a diferentes frecuencias emitidas por un radiador

idealizado llamado cuerpo negro. Lo que Lord Kelvin no puedo predecir es que al tratar de disipar

esas dos “nubecillas”, la física se vería irremediablemente arrastrada a una nueva física: la física

moderna fundada sobre dos revoluciones en ciernes: la revolución relativista y la revolución

cuántica con un científico protagonista en ambas: Albert Einstein.

Radiación del Cuerpo Negro

El primer atisbo del nuevo mundo cuántico se inicia en el transito de los siglos XIX y XX con el

estudio de la emisión de radiación de cuerpo calientes. Así, la primera evidencia de la naturaleza

cuántica (i.e discreta) de la radiación vino del estudio de la radiación térmica emitida por cuerpos

opacos (aquellos que no son transparentes). Cuando la radiación lumínica incide sobre un cuerpo

opaco, parte es reflejada, y el resto es absorbida. Los cuerpos que aparecen coloreados a la luz

reflejan la mayoría de la radiación que incide sobre ellos, mientras que los cuerpos oscuros absorben

la mayoría de ella. La radiación absorbida por un cuerpo incrementa la energía cinética de los

átomos que constituyen el cuerpo, los cuales oscilan sobre sus posiciones de equilibrio. Dado que la

energía de traslación promedio de los átomos determina la temperatura del cuerpo, la energía

absorbida causa que la temperatura se incremente. No obstante, los átomos contienen cargas

(electrones) y estos son acelerados por las oscilaciones. Consecuentemente como requiere la teoría

electromagnética clásica los átomos emiten radiación electromagnética, la cual reduce la energía

cinética de las oscilaciones y tiende a reducir la temperatura. Cuando la tasa de absorción iguala a la

de emisión, la temperatura es constante y se dice que el cuerpo está en equilibrio térmico con su

ambiente. Un buen absorbente de radiación es también un buen emisor, y a la inversa (Ley de

Kirchhoff) esta es una de las razones por las que las paredes de los termos se construyen espejadas.

La radiación electromagnética emitida bajo estas circunstancias es llamada radiación térmica.Las

superficie de un cuerpo material mantenido a una temperatura elevada emite luz de todas las

frecuencias o longitudes de onda. Por lo tanto la radiación térmica es la radiación electromagnética

emitida por un cuerpo en virtud de su temperatura. Dicha radiación presenta una distribución

espectral (la emisión según las distintas frecuencias o longitudes de onda), cuya forma concreta

depende depende de la temperatura establecida. A temperaturas ordinarias por debajo de 600ºC, la

radiación térmica emitida por un cuerpo (e.g. una barra de hierro) de la energía emitida se concentra

en longitudes de onda más largas que la de luz visible (en la zona infrarroja del espectro

electromagnético), y los cuerpos son visibles por la luz que reflejan. Cuando el cuerpo es calentado,

la cantidad de radiación térmica emitida se incrementa y la energía radiada se extiende a longitudes

de onda cada vez más cortas, a una temperatura de aproximadamente 600-700 ºC, hay suficiente

energía para ser emitida en el espectro visible por lo que el cuerpo empieza a resplandecer y

aparece como un brillo rojo oscuro a temperaturas más altas (1200ºC) aparece como blanco

azulado brillante, por encima de esa temperatura se emite ya radiación ultravioleta (UV) además de

la visible e infrarroja.

El rango pues de longitudes de onda de la radiación térmica se sitúa entre las 0.1 μm y los 100μm,

de este modo se extiende desde el ultravioleta hasta el infrarrojo, incluyendo por tanto la parte del

visible del espectro electromagnético. Así. A temperaturas suficientemente altas, los cuerpos emiten

radiación en la región del visible, y se hacen luminosos por si mismos mientras que, a bajas

temperaturas, son visibles al ojo por la luz que reflejan y no por la emitida (que puede ser detectada

con una cámara apropiada que es sensible a la radiación infrarroja).

Una superficie o cuerpo que absorbe toda la radiación que incide sobre ella se llama superficie de

cuerpo negro ideal. Como este cuerpo no refleja nada, aparecerá negro a nuestros ojos. Un

cuerpo negro también será un emisor ideal, y así la luz emitida por un cuerpo negro se llama

radiación de cuerpo negro. Un cuerpo negro es por lo tanto una idealización, pues no existe

ningún cuerpo real que cumpla las condiciones citadas. No obstante, en la naturaleza podemos

encontrar cuerpos que se comportan aproximadamente como un cuerpo negro, un ejemplo de este

tipo lo constituye un objeto que tiene una cavidad con paredes impermeables al calor lo más rugosas

y ennegrecidas posibles que se comunica con el exterior con un pequeño orificio, es decir, un orificio

que es pequeño comparado con las dimensiones finales de la cavidad. La radiación que, procedente

del exterior, incida sobre dicho orificio penetrará en la cavidad, siendo absorbida por las paredes de

ésta tras sucesivas reflexiones internas, si el tamaño del agujero es mucho más pequeño que el área

total de dichas paredes, la probabilidad de que esta radiación vuelva a salir al exterior puede

considerarse despreciable. El orificio se comporta como un absorbente perfecto. De otra forma

la radiación térmica emergente hacia el exterior procedente de dicho agujero será espectralmente

idéntica a la de un cuerpo negro a una determinada temperatura T, el agujero está pues absorbiendo

toda la energía que le llega y por otra emitiendo la radiación correspondiente al equilibrio a la misma

temperatura, el agujero puede ser considerado un cuerpo negro.

Para entender el concepto de cuerpo negro podemos pensar en una caja de cartón pintada en su

interior de negro en la que se ha practicado un pequeño orificio en una de sus caras, visto desde

fuera, el orificio resulta considerablemente “más negro” que cualquier superficie “negra” material.

En una medición de cuantitativa de la radiación de un cuerpo negro tenemos un recinto cerrado u

“horno”, construido con un material adecuado, con un pequeño orificio en la pared . Se dirigen los

instrumentos hacia el orificio y de esta manera medimos la energía radiante que emerge del interior

del recinto. Llamada por ello también radiación de una cavidad. A partir de consideraciones

termodinámicas muy generales el físico alemán Gustav R. Kirchhoff (1824-1887) quien en 1862

había introducido en la Física el concepto de cuerpo negro demostró que, para cualquier longitud de

onda, la razón de la intensidad de emisión por una superficie arbitraria a la intensidad de emisión de

una superficie de un cuerpo negro es igual al coeficiente de absorción del material para el valor de

longitud de onda en cuestión. La superficie de cuerpo negro es, por lo tanto, un emisor patrón

adecuado y se pueden limitar todas las consideraciones de la radiación térmica a la radiación que

procede del orificio de una cavidad.

Ley de Stefan-Boltzmann

Así, en vez de estudiar la radiación procedente de una superficie material, cabe observar la radiación que

procede de un pequeño orificio en la pared de una superficie material cerrada mantenida a una temperatura

fija. En estas mediada experimentales se halló los siguientes hechos empíricos :

En 1879 el físico esloveno-austriaco Josef Stefan (1835-1893) encontró una relación empírica entre la

potencia radiada por un cuerpo negro por unidad de área, llamada emitancia o poder emisivo R, dada en

vatios por metro cuadrado ( $W/m^2$ ) y la temperatura absoluta:

$R = \sigma T^{4}$ $[1]$

donde T es la temperatura absoluta en grados Kelvin, $k = 5.6703 x 10^{-8} W/m^2K^4$ (en unidades de

Sistema Internacional de Medidas: W, vatios; m metros, K, grados Kelvin) es una constante llamada de

constante de Stefan-Bolztmann. Este resultado fue también derivado a través de consideraciones teóricas

con base en la termodinámica clásica por un alumno de Stefan, el físico austriaco Ludwing Boltzmann

(1844-1906) cinco años más tarde en 1884, por lo que la ecuación $[1]$ es llamada ley de Stefan-

Boltzmann. Esta ecuación nos indica que la cantidad total de energía radiada (la emitancia total o poder

emisivo total) por un cuerpo negro en equilibrio térmico aumenta con la cuarta potencia de su temperatura

absoluta.

Los objetos que no son cuerpos negros radian energía por unidad de área a una tasa menor que la del

cuerpo negro a la misma temperatura. Esa tasa dependen en otras propiedades además de la temperatura,

tales como el color y la composición de la superficie. El efecto de estas dependencias es combinado en en

un facto llamado emisividad $\epsilon$ el cual debe ser incluido como factor multiplicador en la ecuación $[1]$ . El valor

de $\epsilon$ es también dependiente de la temperatura y siempre es menor que la unidad.

La distribución espectral de la radiación emitida por un cuerpo negro se encuentra que es empíricamente

dependiente de la temperatura absoluta, mientras que la forma de la curva de emisión es independiente de la

forma de la cavidad, como también, de la naturaleza del material de las paredes.

Al igual que el poder radiado total $R$ , la distribución espectral de la radiación emitida por un cuerpo negro

se encuentra empíricamente que depende de la temperatura absoluta T. Si se representa para una

determinada temperatura gráficamente el poder emitido por unidad de área $R$ , en función de longitud de

onda ( $\lambda$ ) la llamada función de distribución espectral $R(\lambda,T)$ (la notación matemática expresa que la

función $R$ depende de las dos variables, $\lambda$ y T), se obtiene un curva acampanada lisa que tiende a cero tanto

para longitudes de onda muy larga, como para longitudes de onda muy corta, en general la curva presenta un

máximo para cierta longitud de onda $\lambda^{max}$ que depende de la temperatura absoluta T de manera muy

simple:

$\lambda^{max}T = Constante [Co]=2.898x10^{-3} m . K$ $[2]$

Este resultado expresa la ley de desplazamiento de Wien que fue obtenida por el físico alemán Wilhelm

Wien (1864-1928). Desplazamiento en referencia al desplazamiento hacia longitudes de onda más corta que

sufre el máximo de la curva conforme se incrementa la temperatura. Así, la longitud en la cual la distribución

(emisión) es máxima varia inversamente con la temperatura. La constante $Co$ es una constante universal que

describe una propiedad de las cavidades o superficies radiantes en general. La cantidad total de radiación

emitida es más o menos la misma para todas las superficies materiales.

El poder radiado fuera del agujero $R$ es proporcional a la densidad total de energía $\rho$ (energía por unidad

de volumen de la radiación en la cavidad del cuerpo negro ideal). Se puede demostrar que la constante de

proporcionalidad es igual $c/4$ donde $c$ es la velocidad de la luz.

$R=1/4c\rho$ $[3]$

De igual manera la distribución espectral del poder emitido por el agujero es proporcional a la distribución

espectral de la densidad de energía en la cavidad. Si $Ï�(\lambda,T)d\lambda$ es la energía por unidad de volumen en la

cavidad en el rango $\lambda+d\lambda$ , entonces $\rho(\lambda,T)$ y $R(\lambda,T)$ están relacionados por:

$R(\lambda,T)=1/4c\rho(\lambda,T)$ $[4]$

Esta relación se cumple para para cualquier cuerpo negro en equilibrio térmico. La función de distribución

de densidad de energía $\rho(\lambda,T)$ en el interior de la cavidad del cuerpo negro es completamente

independiente de las propiedades y formas de los cuerpos puede que forma la pared del recinto del cuerpo

negro. Por ello el espectro de radiación térmica emitido por un cuerpo negro en equilibrio térmico posee

características universales. Una universalidad que cumple con el segundo principio de la termodinámica. Las

funciones son por tanto funciones universales dependientes únicamente de la longitud de onda (o de la

frecuencia ) y de la temperatura absoluta $\rho(\lambda,T)$ y $R(\lambda,T)$ .

La función $\rho(\lambda,T)$ puede ser calculada a partir de la física clásica de manera sencilla. El método requiere

encontrar el número de modos de oscilación del campo electromagnético en la cavidad con la longitud de

onda en la cavidad en el intervalo $\lambda$ y multiplicando la energía promedio por nodo. El resultado es que el

número de modos de oscilación por unidad de volumen n( $\lambda$ ) es independiente de la forma de la cavidad

elegida y es dado por $n(\lambda)=8 \pi \lambda^{-4}$ $[5]$ . De acuerdo con la teoría cinética clásica la energía promedio por

modo de oscilación es $kT$ , la misma que para un oscilador armónico en una dimensión, $k$ es laconstante de

Boltzmann $k =1.3806503 x 10^{- 23} J/K$ .

Ley de Rayleigh-Jeans

En el siglo XIX se habían realizado ya mediciones cuidadosas relativas a la ley de radiación del cuerpo

negro. El principal problema teórico consistía en deducir la ley de la radiación a partir de los principios

fundamentales de la física clásica.

Utilizando argumentos de electrodinámica clásica el físico inglés John-Willian Struct (Lord Rayleigh) (1842-

1919) derivó y posteriormente fue modificada por sir James James (1877-1946) una función teórica de

distribución espectral de densidad de energía $\rho(\lambda,T)$ :

$\rho(\lambda,T)=8\pi kT/\lambda^{4}$ $[6]$ ; en función de la frecuencia $\rho(\nu, T)=\frac{8\pi kT\nu^{2}}{c^3}$ $[7]$ ,

llamada ley de Rayleigh-Jeans, donde $k$ es la constante de Boltzmann.

Esta ley muestra un serio conflicto entre las predicciones de la física clásica y los resultados experimentales.

A muy bajas longitudes de onda esta ley estaba de acuerdo con la distribución espectral determinada

experimentalmente, pero a longitudes de ondas corta de más alta frecuencia esta ley predice que $\rho(\lambda,T)$ va

incrementando de valor aproximándose a la infinidad cuando $\lambda->0$ , mientras que experimentalmente se

comprueba que la distribución se aproxima cero cuando $\lambda->0$ . Este enorme desacuerdo entre la mediada

experimental de $(\lambda,T)$ y la predicción fundamental de la física clásica a longitudes de onda corta fue llamada

en 1911 por el físico austriaco, uno de los padres de la Teoría cuántica Paul S. Ehrenfest (1880-1933) la

catástrofe ultravioleta, la ley de radiación Rayleigh-Jeans predecía una gran emisión de radiación

ultravioleta UV por el cuerpo negro, cosa que experimentalmente no ocurre . Este comportamiento

anómalo indicaría por ejemplo que seríamos abrasados por cualquier horno o pedazo de hierro

incandescente , lo cual evidentemente no ocurre. O en palabras del físico y divulgador científico de origen

ucraniano conocido con el nombre de George Gamov (1904-1968), “...al abrir la puerta del horno de una

cocina o el cierre del hogar de una locomotora, seriamos alcanzado por la mortal radiación de las ondas

cortas y moriríamos inmediatamente. La conclusión es evidentemente absurda , pero por otra parte resulta

de la aplicación de las leyes fundamentales de la física clásica a la energía radiante.

Así, la aplicación de las leyes básicas de la física clásica había conducido a la absurda ley de radiación de

cuerpo negro que afirma que la intensidad de radiación radiada aumenta en monotonía con la frecuencia de

tal manera que la intensidad radiada es total es infinita. Lo que significaría que la radiación no puede estar en

equilibrio térmico con la materia, cualquiera que sea la temperatura, resultado teórico que evidentemente

desmienten los hechos experimentales.

Planck y el inicio de la Revolución Cuántica

El catorce de diciembre del año 1900 en los albores del siglo XX, el físico alemán Max Planck (1858-1947)

presentó un trabajo acerca de la ley de la radiación del cuerpo negro en una reunión de la Sociedad

Alemana de Física, en Berlin, y esta fecha puede considerarse como el nacimiento de la física cuántica. En su

deducción de la expresión teórica de la intensidad de radiación en función de la longitud de onda y de la

temperatura, Planck abandonó la física clásica al introducir un hipótesis radical ad hoc cuya esencia puede

formularse como sigue: Un oscilador de frecuencia natural $\nu$ puede tomar o ceder energíaúnicamente en

proporciones de magnitud $E=h\nu$ $[8]$ , donde $h$ es una nueva constante de la naturaleza, llamada en honor

de Planck constante de Planck (el cuanto de acción, pues tiene dimensiones de acción (energía por

tiempo) J.s; Julios (J), unidad de energía por segundo (s) unidad de tiempo) y solo puede tener, y por lo

tanto solo emitir energía dadas por $E=nh\nu$ $[9]$ , donde $n$ es un entero positivo, $\nu$ la frecuencia de la

radiación. Planck fue capaz con esta hipótesis encontrar una expresión teórica para la función de distribución

espectral de densidad energía en función de la longitud de onda $(\lambda, T)$ o de la frecuencia $(\rho, T)$ de la

radiación de la cavidad del cuerpo negro:

$\rho(\lambda,T) =\frac{8\pi hc} {\lambda^{5}}\frac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$ $[10]$

$\rho(\nu,T) =\frac{8\pi\nu^{2}}{c^3}\frac{h\nu}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$ $[11]$

Donde $\rho(\lambda,T)$ es la densidad de energía radiante en la cavidad por unidad de intervalo de longitud de

onda, para la longitud de onda $\lambda$ , a la tempera absoluta $T$ , la constante $k$ es la constante de Boltzmann, y $c$

es la velocidad de la luz, y $h$ es la constante de Planck.

Esta función llamada ley de Planck se ajustaba muy bien a los datos obtenidos experimentalmente. El valor

de la constante de Planck $h$ , puede ser determinado encajando la función de la ecuación a los datos

experimentales. El valor actual aceptado para la constante $h$ es igual:

$h= 6.626 x10^{-34} J.s = 4.136 x10^{-15} eV.s$

La importancia fundamental, la explicación física de la cuantificación o cuantización (discretización)

introducida por la ecuación $[10]$ , $[11]$ no fue completamente entendida por Planck que la consideraba

simplemente solo un truco matemático para ajustar una función matemática a los datos físicos. Planck era

un físico formado en la tradición clásica, y que solo abandono los supuestos clásicos “en un acto de

desesperación” como el dijo alguna vez. El significado físico de la entrada del cuanto de acción en la escena

física, no fue generalmente apreciada por los físicos hasta 1905, cuando el genial físico de origen alemán

Albert Einstein (1879-1955) aplicó las ideas cuánticas de Planck a la explicación del efecto fotoeléctrico, al

sugerir que la misma no era una misteriosa propiedad de los osciladores en las paredes de la cavidad y la

radiación de cuerpo negro, la cuantificación es una característica fundamental de la propia energía

lumínica.

fuente: http://www.wikillerato.org/Radiaci%C3%B3n_del_Cuerpo_Negro._Hip%C3%B3tesis_de_Planck.html#Radiaci.C3.B3n_del_Cuerpo_Negro